哥德巴赫猜想说，每一个足够大的偶数（大于6），都能表示为两个素数之和。
这篇文章给出一种方法，来估算“把偶数拆成两个素数之和的拆法”。
如“10”可以拆为3+7、5+5、7+3共三种拆分方法。（不同的加法顺序，本文把它视作不同的拆分方法）
素数是指没有非平凡因数的自然数。如2、3、5、7、11等。
一种简单的判断素数的方法，是试除法。对于一个数n>1，如果想要判断它是不是素数，可以依次用2、3、4、5等数来尝试整除n——如果无法找到非平凡因子，则说明n是素数。
埃拉托斯特尼筛法是一种快速求出$1 \sim n$的所有素数的有效方法。
它的思路如下，
首先将$1 \sim n$这n个数全部列出来；因为1不是素数，划掉1。
接着，划掉所有2的倍数（但不包括2本身）
再接着，划掉所有3的倍数（但不包括3本身）
……
只要划掉了$2 \sim \sqrt{n}$之间所有数的倍数，剩下的就全都是素数了。
将上述方法稍微改变，就可以得到求偶数$n$拆成素数之和的所有方法。
首先列出$1 \sim n$这n个数；划掉$1$、$n-1$和$n$这三个数。
划掉所有的偶数（2的倍数，包括2本身）。
划掉所有的3的倍数（不包括3本身）；每划掉一个数$x$，也同时划掉$n-x$。
划掉所有的5的倍数（不包括5本身）；每划掉一个数$x$，也同时划掉$n-x$。
……
只要上述的过程重复，一直到$\sqrt n$，剩下每一个数$x$自然就满足“$x$是素数”且“$n-x$是素数”这个条件；也只有不满足条件的数才会被划掉。
首先列出所有数
划掉1、13、14
划掉所有的偶数
划掉所有的3的倍数（不包括3本身）；每划掉一个数$x$，也同时划掉$n-x$。
3接下来的素数是5，因为$5^2>14$，已经可以结束上述重复过程。
剩下的数是$3$、$7$、$11$。
因此我们知道14可以用三种方式拆分成素数之和：3+11、7+7、11+3。
上述过程具有较强的规律性，对于较大的n可以估算出每次“划掉”的数的数量。
划掉$1$、$n-1$和$n$：固定为划掉3个数。
在剩下的数里划掉偶数：数量大约减半。
划掉3的倍数（不包括3本身）（以及附带划掉$n-x$）：如果n是3的倍数，则大约划掉剩下数的$\frac{1}{3}$；如果n不是3的倍数，则大约划掉剩下数的$\frac{2}{3}$。
划掉5的倍数（不包括5本身）（以及附带划掉$n-x$）：如果n是5的倍数，则大约划掉剩下数的$\frac{1}{5}$；如果n不是3的倍数，则大约划掉剩下数的$\frac{2}{5}$。
……
以上过程，一直重复到$\sqrt{n}$
用C语言可以表示为
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>
bool is_prime(int x)
{
if (x <= 1)
return 0;
for (int i = 2; i <= sqrt(x); i++)
{
if (x % i == 0)
{
return 0;
}
}
return 1;
}
double appro(int n)
{
double v = n * 0.5;
for (int i = 3; i <= sqrt(n); i++)
{
if (is_prime(i))
{
if (n % i == 0)
{
v *= 1.0 - 1.0 / i;
}
else
{
v *= 1.0 - 2.0 / i;
}
}
}
return v;
}
int main()
{
double v = appro(1000000);
printf("%f\n", v);
}上述程序估算1000000可以用多少种方式拆分成素数之和。 运行结果是“11541.753904”。
1000000实际上可以用10804种方式拆分成素数之和。估算的相对误差为6.83%，可以看到这种方法估算的是比较准确的。
换一个例子，用上述方法估算12345678的拆分方法数量为“157224.992970”，而实际值是142338，相对误差为10.46%，也比较准确。
从上述估算过程可以看到，如果数$n$有较小的素因子（除了2），则它就会有比较多的拆分方法；反之则拆分方法会比较少。
将上述程序稍加修改，可以用来估算某个数量级的$n$的解数量的下限（即，假设$n$没有小的素因子）。
如下图，这个下限拟合得较好（蓝线为估算值，红点为实际值）。
