322. Coin Change

memo.md

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+# 322. Coin Change
+- 問題: https://leetcode.com/problems/coin-change/
+- 言語: Python
+
+## Step1
+### 方針
+- まずは貪欲（greedy）に、大きい額面の硬貨から順に amount の金額を作れないか試す
+  - 11 - 5 - 5 = 1, 1 - 1 = 0
+- いくつかのテストケースではうまくいくが、やはりDPでないとダメそう？
+- 15分経過したため正答を見る
+
+#### WA(Greedyな方法)
+```py
+class Solution:
+    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
+        if amount == 0:
+            return 0
+
+        sorted_coins = sorted(coins, reverse=True)
+        current_index = 0
+        current_value = amount
+        candidate_num_coins = 0
+
+        while current_index < len(sorted_coins):
+            current_value -= sorted_coins[current_index]
+
+            if current_value == 0:
+                candidate_num_coins += 1
+                return candidate_num_coins
+
+            if current_value > 0:
+                candidate_num_coins += 1
+                continue            
+
+            current_value += sorted_coins[current_index] # 引きすぎた分を元に戻す
+            current_index += 1
+
+        return -1
+```
+- 一度ある硬貨を使うと決めたらバックトラックしないため、「大きい硬貨を使いすぎたせいで、後の組み合わせが悪くなる」ケースを検出できない
+
+#### 正答
+### 直観
+ある金額に対して、まず1種類の硬貨（例えば1円硬貨）を使ってみて、「残りの金額 - 1を作るのに必要な最小の硬貨枚数」を考える。これをすべての硬貨について試し、最も良い結果を選ぶ。
+
+### 方針1: DP
+- ボトムアップ的に答えを考える
+- `min_num_coins[current_amount]` = 金額 `current_amount` をちょうど作るために必要な硬貨の最小枚数
+- 全ての硬貨を試して、その中で最小になるものを採用
+- `min_num_coins[0] = 0`（何も硬貨を使わずに金額0を作れる）を土台にして、$i = 1, 2, ..., amount$ の順に小さい金額から順番に埋めていく
+
+```py
+class Solution:
+    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
+        min_num_coins = [float("inf")] * (amount + 1)
+        min_num_coins[0] = 0
+
+        for current_amount in range(1, amount + 1):
+            for coin in coins:
+                if current_amount >= coin:
+                    min_num_coins[current_amount] = min(min_num_coins[current_amount], min_num_coins[current_amount - coin] + 1,)
+
+        if min_num_coins[amount] != float("inf"):
+            return min_num_coins[amount]
+        else:
+            return -1
+```
+- `min_num_coins[current_amount]`：すでに見つかっている、金額 `current_amount` を作る最小枚数
+- `min_num_coins[current_amount - coin] + 1`：金額 `current_amount - coin` を最小枚数で作り、最後に `coin` を1枚足した場合
+- 時間計算量: $O(n^{2})$
+  - $O(amount × len(coins))$
+  - n = 12 の場合、 $(10^{4} × 12) / 10^{7} = 1.2 × 10^{−2} = 12$ ms
+- 空間計算量: $O(n)$
+
+### 方針2: Top-down（メモ化再帰DFS）
+- 金額 `amount` から順番に試していくTop-downなアプローチ
+
+```py
+class Solution:
+    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
+        @cache
+        def search_candidate(remain: int) -> int:
+            # 金額をちょうど作れた
+            if remain == 0:
+                return 0
+
+            # 金額を超えて硬貨を使ってしまった
+            if remain < 0:
+                return float("inf")
+
+            min_coins = float("inf")
+
+            # 最後に使う硬貨をすべて試す
+            for coin in coins:
+                candidate = search_candidate(remain - coin) + 1
+                min_coins = min(min_coins, candidate)
+
+            return min_coins
+
+        min_num_coins = search_candidate(amount)
+
+        if min_num_coins != float("inf"):
+            return min_num_coins
+        else:
+            return -1
+```
+- 時間計算量: $O(n^{2})$
+  - $O(amount × len(coins))$
+- 空間計算量: $O(n)$
+
+## Step2
+- 典型コメント集: https://docs.google.com/document/d/11HV35ADPo9QxJOpJQ24FcZvtvioli770WWdZZDaLOfg/edit?tab=t.0#heading=h.ic8466had15a
+
+- https://github.com/nittoco/leetcode/pull/38
+  - Python
+  - DPはDPでも2次元DPの方法、コードが長くなりがち？
+  - `amount` を硬貨で表現できない場合をinfではなくNoneで配列を初期化している
+    - Noneだと `None + 1` や `min(None, 3)` ができないのでちょっと面倒
+
+- https://github.com/Ryotaro25/leetcode_first60/pull/44
+  - C++
+  - 到達不能のときの `-1` はマジックナンバーなので、定数化したほうがわかりやすい
+
+- https://github.com/seal-azarashi/leetcode/pull/37
+  - Java
+  - 重み1の最短経路問題として解く（BFS）
+    - 頂点：現在の合計金額
+    - 辺：硬貨を1枚追加する操作
+    - 辺のコスト：硬貨1枚なので常に1
+    - 開始地点：金額 `0`
+    - 目的地点：金額 `amount`
+      - `new CoinState(3, 11)` なら「硬貨を3枚使って、現在11円になっている」状態
+  - iterative DFSの方法
+
+- https://github.com/Yoshiki-Iwasa/Arai60/pull/54
+  - Rust
+  - 変数に複数の意味を持たせるか？
+
+- https://github.com/TORUS0818/leetcode/pull/42
+  - Python
+  - 答えの変数を -1 で初期化しているけど、inf で初期化の方が直観的かな
+  - 候補の生成にジェネレーターを使う方法
+    - 以下のようにも書けるらしい（ジェネレーター式）
+        ```py
+        class Solution:
+            def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
+                @cache
+                def coin_change_helper(remain: int) -> float:
+                    if remain == 0:
+                        return 0
+
+                    if remain < 0:
+                        return inf
+
+                    return min(coin_change_helper(remain - coin) + 1 for coin in coins)
+
+                num_coins = coin_change_helper(amount)
+                return -1 if num_coins == inf else int(num_coins)
+        ```
+  - BFSで状態に硬貨の枚数ではなく、階層を表すリストを2つ用意する
+    - 硬貨が1枚増えるたびに作った「次の階層のリスト」を、次のループでは「現在の階層」として扱う
+    - 
+      ```py
+      class Solution:
+          def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
+              if amount == 0:
+                  return 0
+              current_amounts = [0]
+              found = set()
+              num_coins = 1
+              while current_amounts:
+                  next_amounts = []
+                  for current_amount in current_amounts:
+                      for coin in coins:
+                          next_amount = current_amount + coin
+                          if amount == next_amount:
+                              return num_coins
+                          if amount < next_amount:
+                              continue
+                          if next_amount in found:
+                              continue
+                          found.add(next_amount)
+                          next_amounts.append(next_amount)
+                  current_amounts = next_amounts
+                  num_coins += 1
+              return -1
+      ```
+      - cf. https://github.com/TORUS0818/leetcode/pull/42#discussion_r1904160562
+    - 図解
+```mermaid
+flowchart TD
+    subgraph L0["レベル0：硬貨0枚"]
+        A["0円"]
+    end
+
+    subgraph L1["レベル1：硬貨1枚"]
+        B["1円"]
+        C["3円"]
+        D["4円"]
+    end
+
+    subgraph L2["レベル2：硬貨2枚"]
+        E["2円"]
+        F["5円"]
+        G["6円 ✅"]
+    end
+
+    A --> B
+    A --> C
+    A --> D
+
+    B --> E
+    B --> F
+    C --> G
+```
+
+## Step3
+### DP
+```py
+class Solution:
+    def coinChange(self, coins: List[int], amount: int) -> int:
+        UNREACHABLE = -1
+        min_num_coins = [float("inf")] * (amount + 1)
+        min_num_coins[0] = 0
+
+        for current_amount in range(1, amount + 1):
+            for coin in coins:
+                if current_amount >= coin:
+                    min_num_coins[current_amount] = min(min_num_coins[current_amount], min_num_coins[current_amount - coin] + 1,)
+
+        if min_num_coins[amount] != float("inf"):
+            return min_num_coins[amount]
+        else:
+            return UNREACHABLE
+```
+- 所要時間:
+  - 1回目: 3:22
+  - 2回目: 2:36
+  - 3回目: 3:02